Chaudronnerie
Calcul du développé d’un tronc de cône
En bref
Le développé d’un tronc de cône droit est un secteur d’anneau. Avec le demi-angle α (tan α = (Dg − Dp) / 2h), le grand rayon vaut R = (Dng / 2) / sin α, le petit r = (Dnp / 2) / sin α, et l’angle du secteur θ = 360° × sin α, les diamètres étant pris à la fibre neutre.
Calcul
Exemple calculé avec les valeurs par défaut de l’outil.
Saisies
- Grand diamètre
- 400 mm
- Petit diamètre (0 = cône pointu)
- 200 mm
- Hauteur (entre les deux bases)
- 300 mm
- Épaisseur de la tôle
- 3 mm
- Les diamètres saisis sont
- Extérieurs
- Nombre de pièces (secteur divisé)
- 1
- Pas des génératrices (sur la base)
- 15°
Résultats
- Rayon du développé (grand arc)
- 627,5 mm
Exemple détaillé
Toutes les valeurs de cette section sont celles de l’exemple, calculé avec les valeurs par défaut de l’outil.
Autres résultats de l’exemple
- Rayon du petit arc
- 311,2 mm
- Angle du secteur
- 113,84°
- Corde du grand arc
- 1051,5 mm
- Flèche du grand arc
- 285,0 mm
- Longueur du grand arc
- 1246,7 mm
- Longueur du petit arc
- 618,4 mm
- Génératrice (fibre neutre)
- 316,2 mm
- Demi-angle au sommet
- 18,43°
- Grand Ø à la fibre neutre
- 396,8 mm
- Petit Ø à la fibre neutre
- 196,8 mm
- Coordonnées de traçage par génératrices
- X : le long de la corde du grand arc (0 au milieu) ; Z : distance à cette corde, vers le sommet. Une génératrice tous les pas choisis sur la base.
n° base développé grand arc X ; Z petit arc X ; Z 0 0,0° -56,92° -525,8 ; 0,0 -260,8 ; -172,6 1 15,0° -52,18° -495,6 ; 42,3 -245,8 ; -151,6 2 30,0° -47,43° -462,1 ; 82,0 -229,2 ; -131,9 3 45,0° -42,69° -425,4 ; 118,7 -211,0 ; -113,7 4 60,0° -37,95° -385,8 ; 152,3 -191,4 ; -97,0 5 75,0° -33,20° -343,6 ; 182,5 -170,4 ; -82,0 6 90,0° -28,46° -299,0 ; 209,2 -148,3 ; -68,8 7 105,0° -23,72° -252,4 ; 232,0 -125,2 ; -57,5 8 120,0° -18,97° -204,0 ; 250,9 -101,2 ; -48,1 9 135,0° -14,23° -154,2 ; 265,7 -76,5 ; -40,8 10 150,0° -9,49° -103,4 ; 276,4 -51,3 ; -35,5 11 165,0° -4,74° -51,9 ; 282,8 -25,7 ; -32,3 12 180,0° 0,00° 0,0 ; 285,0 0,0 ; -31,2 13 195,0° 4,74° 51,9 ; 282,8 25,7 ; -32,3 14 210,0° 9,49° 103,4 ; 276,4 51,3 ; -35,5 15 225,0° 14,23° 154,2 ; 265,7 76,5 ; -40,8 16 240,0° 18,97° 204,0 ; 250,9 101,2 ; -48,1 17 255,0° 23,72° 252,4 ; 232,0 125,2 ; -57,5 18 270,0° 28,46° 299,0 ; 209,2 148,3 ; -68,8 19 285,0° 33,20° 343,6 ; 182,5 170,4 ; -82,0 20 300,0° 37,95° 385,8 ; 152,3 191,4 ; -97,0 21 315,0° 42,69° 425,4 ; 118,7 211,0 ; -113,7 22 330,0° 47,43° 462,1 ; 82,0 229,2 ; -131,9 23 345,0° 52,18° 495,6 ; 42,3 245,8 ; -151,6 24 360,0° 56,92° 525,8 ; 0,0 260,8 ; -172,6
- Le développé est un secteur de rayon R : ajouter la surépaisseur de découpe et, au besoin, le jeu de soudure sur les bords droits. Résultat indicatif.
Calcul détaillé
Demi-angle et génératrice
tan α = (Dg − Dp) / 2h ; s = √(h² + ((Dg − Dp)/2)²)
tan α = 100,0 / 300,0 → α = 18,43° ; s = 316,2 mm
Diamètres à la fibre neutre
Dn = D − e / cos α
e / cos α = 3,0 / 0,9487 = 3,16 → Dng = 396,8 ; Dnp = 196,8 mm
Rayons du développé
R = (Dng / 2) / sin α ; r = (Dnp / 2) / sin α
R = 198,4 / 0,3162 = 627,5 mm ; r = 98,4 / 0,3162 = 311,2 mm
Angle du secteur
θ = 360° × sin α (arc = π × Dng)
θ = 360 × 0,3162 = 113,84°
Corde et flèche
c = 2R sin(θ/2) ; f = R (1 − cos(θ/2))
c = 1051,5 mm ; f = 285,0 mm
Coordonnées par génératrice
φ = β sin α − θ/2 ; X = R sin φ ; Z = R cos φ − R cos(θ/2)
25 génératrices, pas 15° sur la base
Génératrices (traçage du secteur)
| N° | Angle sur la base (°) | Angle sur le développé (°) | Grand arc X (mm) | Grand arc Z (mm) | Petit arc X (mm) | Petit arc Z (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,0 | −56,92 | −525,8 | 0,0 | −260,8 | −172,6 |
| 1 | 15,0 | −52,18 | −495,6 | 42,3 | −245,8 | −151,6 |
| 2 | 30,0 | −47,43 | −462,1 | 82,0 | −229,2 | −131,9 |
| 3 | 45,0 | −42,69 | −425,4 | 118,7 | −211,0 | −113,7 |
| 4 | 60,0 | −37,95 | −385,8 | 152,3 | −191,4 | −97,0 |
| 5 | 75,0 | −33,20 | −343,6 | 182,5 | −170,4 | −82,0 |
| 6 | 90,0 | −28,46 | −299,0 | 209,2 | −148,3 | −68,8 |
| 7 | 105,0 | −23,72 | −252,4 | 232,0 | −125,2 | −57,5 |
| 8 | 120,0 | −18,97 | −204,0 | 250,9 | −101,2 | −48,1 |
| 9 | 135,0 | −14,23 | −154,2 | 265,7 | −76,5 | −40,8 |
| 10 | 150,0 | −9,49 | −103,4 | 276,4 | −51,3 | −35,5 |
| 11 | 165,0 | −4,74 | −51,9 | 282,8 | −25,7 | −32,3 |
| 12 | 180,0 | 0,00 | 0,0 | 285,0 | 0,0 | −31,2 |
| 13 | 195,0 | 4,74 | 51,9 | 282,8 | 25,7 | −32,3 |
| 14 | 210,0 | 9,49 | 103,4 | 276,4 | 51,3 | −35,5 |
| 15 | 225,0 | 14,23 | 154,2 | 265,7 | 76,5 | −40,8 |
| 16 | 240,0 | 18,97 | 204,0 | 250,9 | 101,2 | −48,1 |
| 17 | 255,0 | 23,72 | 252,4 | 232,0 | 125,2 | −57,5 |
| 18 | 270,0 | 28,46 | 299,0 | 209,2 | 148,3 | −68,8 |
| 19 | 285,0 | 33,20 | 343,6 | 182,5 | 170,4 | −82,0 |
| 20 | 300,0 | 37,95 | 385,8 | 152,3 | 191,4 | −97,0 |
| 21 | 315,0 | 42,69 | 425,4 | 118,7 | 211,0 | −113,7 |
| 22 | 330,0 | 47,43 | 462,1 | 82,0 | 229,2 | −131,9 |
| 23 | 345,0 | 52,18 | 495,6 | 42,3 | 245,8 | −151,6 |
| 24 | 360,0 | 56,92 | 525,8 | 0,0 | 260,8 | −172,6 |
Comment faire
- Saisir le grand diamètre, le petit diamètre (0 pour un cône pointu) et la hauteur entre les deux bases.
- Saisir l’épaisseur de la tôle et dire si les diamètres sont extérieurs, intérieurs ou à la fibre neutre.
- Indiquer le nombre de pièces si le secteur est partagé, et le pas des génératrices pour le traçage par coordonnées.
- Lire le rayon du développé (grand arc).
Questions fréquentes
Quelle est la formule du développé d’un tronc de cône ?
Demi-angle au sommet : tan α = (Dg − Dp) / 2h ; génératrice s = √(h² + ((Dg − Dp)/2)²). Rayons du développé : R = (Dng / 2) / sin α et r = (Dnp / 2) / sin α = R − s. Angle du secteur : θ = 360° × sin α, car l’arc du secteur égale la circonférence de la base, π × Dng.
Comment calculer le développé d’un tronc de cône ?
Exemple : Dg = 400 mm, Dp = 200 mm, h = 300 mm, tôle de 3 mm, diamètres extérieurs. tan α = 100,0 / 300,0, soit α = 18,43° et s = 316,2 mm. À la fibre neutre, Dng = 396,8 et Dnp = 196,8 mm. R = 198,4 / 0,3162 = 627,5 mm, r = 311,2 mm, θ = 113,84°, corde du grand arc 1051,5 mm et flèche 285,0 mm.
Comment faire le développé d’un cône pointu ?
Saisissez un petit diamètre de 0 : le développé devient un secteur de disque de rayon R = (Dng / 2) / sin α, sans petit arc. L’angle du secteur reste θ = 360° × sin α.
Faut-il tenir compte de l’épaisseur de la tôle ?
Oui : le développé se calcule sur la fibre neutre. Depuis un diamètre extérieur, Dn = D − e / cos α ; depuis un diamètre intérieur, Dn = D + e / cos α. Le décalage de e / 2 est normal à la tôle : sur un cône très ouvert, e / cos α est nettement plus grand que e.
Comment tracer un développé de cône trop grand pour la tôle ?
Le secteur peut être partagé en pièces égales, jusqu’à 12, à souder ensuite. Au-delà de 180°, la corde ne suffit plus à tracer le secteur : le calcul donne aussi des coordonnées par génératrices (X le long de la corde du grand arc, Z vers le sommet), utiles pour tracer au sol.
Limites
Résultats indicatifs. Cône droit de révolution, bases coupées perpendiculairement à l’axe, cotes prises sur la fibre neutre. Ajouter la surépaisseur de découpe et, au besoin, le jeu de soudure sur les bords droits. Sur tôle épaisse par rapport au diamètre, le roulage ou le formage à chaud peut décaler la fibre neutre : prévoir une pièce d’essai.
Sources
- Développement d’un cône droit : secteur de rayon s, angle 360° × r / s : Géométrie descriptive, développement de la surface latérale d’un cône droit (lien)
- Calcul sur la fibre neutre (diamètre moyen = intérieur + e = extérieur − e) : Formation chaudronnier, module 2 chapitre 2 (cylindre, cône, piquage) (lien)
- Trigonométrie du triangle rectangle : Décalage de fibre neutre normal à la tôle : e / cos α sur le diamètre (géométrie)