Calderería
Desarrollo de un tronco cónico o de un cono
En resumen
El desarrollo de un tronco de cono recto es un sector de corona. Con el semiángulo del vértice α (tan α = (Dg − Dp) / 2h), el radio mayor es R = (Dng / 2) / sin α, el menor r = (Dnp / 2) / sin α, y el ángulo del sector θ = 360° × sin α, con los diámetros tomados en la fibra neutra.
Cálculo
Ejemplo calculado con los valores por defecto de la herramienta.
Datos
- Diámetro mayor
- 400 mm
- Diámetro menor (0 = cono completo)
- 200 mm
- Altura (entre las dos bases)
- 300 mm
- Espesor de la chapa
- 3 mm
- Los diámetros introducidos son
- Exteriores
- Número de piezas (sector dividido)
- 1
- Paso de las generatrices (en la base)
- 15°
Resultados
- Radio del desarrollo (arco mayor)
- 627,5 mm
Ejemplo resuelto
Todos los valores de esta sección son los del ejemplo, calculado con los valores por defecto de la herramienta.
Otros resultados del ejemplo
- Radio del arco menor
- 311,2 mm
- Ángulo del sector
- 113,84°
- Cuerda del arco mayor
- 1051,5 mm
- Flecha del arco mayor
- 285,0 mm
- Longitud del arco mayor
- 1246,7 mm
- Longitud del arco menor
- 618,4 mm
- Generatriz (fibra neutra)
- 316,2 mm
- Semiángulo del vértice
- 18,43°
- Ø mayor en la fibra neutra
- 396,8 mm
- Ø menor en la fibra neutra
- 196,8 mm
- El desarrollo es un sector de radio R: añade sobrante de corte y, si hace falta, separación de raíz en los bordes rectos. Resultado orientativo.
Cálculo detallado
Semiángulo y generatriz
tan α = (Dg − Dp) / 2h ; s = √(h² + ((Dg − Dp)/2)²)
tan α = 100,0 / 300,0 → α = 18,43° ; s = 316,2 mm
Diámetros en la fibra neutra
Dn = D − e / cos α
e / cos α = 3,0 / 0,9487 = 3,16 → Dng = 396,8 ; Dnp = 196,8 mm
Radios del desarrollo
R = (Dng / 2) / sin α ; r = (Dnp / 2) / sin α
R = 198,4 / 0,3162 = 627,5 mm ; r = 98,4 / 0,3162 = 311,2 mm
Ángulo del sector
θ = 360° × sin α (arc = π × Dng)
θ = 360 × 0,3162 = 113,84°
Cuerda y flecha
c = 2R sin(θ/2) ; f = R (1 − cos(θ/2))
c = 1051,5 mm ; f = 285,0 mm
Coordenadas por generatriz
φ = β sin α − θ/2 ; X = R sin φ ; Z = R cos φ − R cos(θ/2)
25 generatrices, paso 15° en la base
Coordenadas de trazado por generatriz: X a lo largo de la cuerda del arco mayor (0 en el centro), Z hacia el vértice
| N.º | Ángulo en la base (°) | Ángulo en el desarrollo (°) | Arco mayor X (mm) | Arco mayor Z (mm) | Arco menor X (mm) | Arco menor Z (mm) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,0 | −56,92 | −525,8 | 0,0 | −260,8 | −172,6 |
| 1 | 15,0 | −52,18 | −495,6 | 42,3 | −245,8 | −151,6 |
| 2 | 30,0 | −47,43 | −462,1 | 82,0 | −229,2 | −131,9 |
| 3 | 45,0 | −42,69 | −425,4 | 118,7 | −211,0 | −113,7 |
| 4 | 60,0 | −37,95 | −385,8 | 152,3 | −191,4 | −97,0 |
| 5 | 75,0 | −33,20 | −343,6 | 182,5 | −170,4 | −82,0 |
| 6 | 90,0 | −28,46 | −299,0 | 209,2 | −148,3 | −68,8 |
| 7 | 105,0 | −23,72 | −252,4 | 232,0 | −125,2 | −57,5 |
| 8 | 120,0 | −18,97 | −204,0 | 250,9 | −101,2 | −48,1 |
| 9 | 135,0 | −14,23 | −154,2 | 265,7 | −76,5 | −40,8 |
| 10 | 150,0 | −9,49 | −103,4 | 276,4 | −51,3 | −35,5 |
| 11 | 165,0 | −4,74 | −51,9 | 282,8 | −25,7 | −32,3 |
| 12 | 180,0 | 0,00 | 0,0 | 285,0 | 0,0 | −31,2 |
| 13 | 195,0 | 4,74 | 51,9 | 282,8 | 25,7 | −32,3 |
| 14 | 210,0 | 9,49 | 103,4 | 276,4 | 51,3 | −35,5 |
| 15 | 225,0 | 14,23 | 154,2 | 265,7 | 76,5 | −40,8 |
| 16 | 240,0 | 18,97 | 204,0 | 250,9 | 101,2 | −48,1 |
| 17 | 255,0 | 23,72 | 252,4 | 232,0 | 125,2 | −57,5 |
| 18 | 270,0 | 28,46 | 299,0 | 209,2 | 148,3 | −68,8 |
| 19 | 285,0 | 33,20 | 343,6 | 182,5 | 170,4 | −82,0 |
| 20 | 300,0 | 37,95 | 385,8 | 152,3 | 191,4 | −97,0 |
| 21 | 315,0 | 42,69 | 425,4 | 118,7 | 211,0 | −113,7 |
| 22 | 330,0 | 47,43 | 462,1 | 82,0 | 229,2 | −131,9 |
| 23 | 345,0 | 52,18 | 495,6 | 42,3 | 245,8 | −151,6 |
| 24 | 360,0 | 56,92 | 525,8 | 0,0 | 260,8 | −172,6 |
Cómo se usa
- Introduce el diámetro mayor, el diámetro menor (0 para un cono completo) y la altura entre las dos bases.
- Introduce el espesor de la chapa e indica si los diámetros son exteriores, interiores o en la fibra neutra.
- Indica el número de piezas si el sector se divide, y el paso de las generatrices para trazar por coordenadas.
- Lee el radio del desarrollo (arco mayor).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del desarrollo de un cono?
Semiángulo del vértice: tan α = (Dg − Dp) / 2h; generatriz s = √(h² + ((Dg − Dp)/2)²). Radios del desarrollo: R = (Dng / 2) / sin α y r = (Dnp / 2) / sin α = R − s. Ángulo del sector: θ = 360° × sin α, porque el arco del sector es igual a la circunferencia de la base, π × Dng.
¿Cómo se calcula el desarrollo de un tronco cónico?
Ejemplo: Dg = 400 mm, Dp = 200 mm, h = 300 mm, chapa de 3 mm, diámetros exteriores. tan α = 100,0 / 300,0, así que α = 18,43° y s = 316,2 mm. En la fibra neutra, Dng = 396,8 y Dnp = 196,8 mm. R = 198,4 / 0,3162 = 627,5 mm, r = 311,2 mm, θ = 113,84°, cuerda del arco mayor 1051,5 mm y flecha 285,0 mm.
¿Cómo se desarrolla un cono completo?
Introduce un diámetro menor de 0: el desarrollo pasa a ser un sector de disco de radio R = (Dng / 2) / sin α, sin arco menor. El ángulo del sector sigue siendo θ = 360° × sin α.
¿Hay que tener en cuenta el espesor de la chapa?
Sí: el desarrollo se calcula en la fibra neutra. A partir de un diámetro exterior, Dn = D − e / cos α; a partir de un diámetro interior, Dn = D + e / cos α. El desplazamiento de e / 2 es perpendicular a la chapa: en un cono muy abierto, e / cos α es claramente mayor que e.
¿Cómo se traza un desarrollo de cono demasiado grande para la chapa?
El sector se puede dividir en piezas iguales, hasta 12, que se sueldan después. Por encima de 180°, la cuerda sola ya no basta para trazar el sector: el cálculo da además coordenadas por generatriz (X a lo largo de la cuerda del arco mayor, Z hacia el vértice), útiles para trazar en el suelo.
Límites
Resultados orientativos. Cono circular recto, bases cortadas a escuadra con el eje, cotas tomadas en la fibra neutra. Añade el margen de corte y, si hace falta, la separación de raíz en los bordes rectos. En chapa gruesa respecto al diámetro, el curvado o el conformado en caliente pueden desplazar la fibra neutra: haz una pieza de prueba.
Fuentes
- Développement d’un cône droit : secteur de rayon s, angle 360° × r / s : Géométrie descriptive, développement de la surface latérale d’un cône droit
- Calcul sur la fibre neutre (diamètre moyen = intérieur + e = extérieur − e) : Formation chaudronnier, module 2 chapitre 2 (cylindre, cône, piquage)
- Trigonométrie du triangle rectangle : Décalage de fibre neutre normal à la tôle : e / cos α sur le diamètre (géométrie)